Here's a potential solution (two methods, one for each part of the question): 

import java.util.*; 

public class Two {
  public static void main(String[] args) {
    int[] values = Two.fillRandomly(10, 1, 100); 
    System.out.println( "Result 1: " + java.util.Arrays.toString( values ) ); 
    values = Two.fillRandomlyNoDuplicates(10, 1, 100); 
    System.out.println( "Result 2: " + java.util.Arrays.toString( values ) ); 
    values = Two.fillRandomlyNoDuplicates(10, 1, 15); // try again with shorter range to force hits 
    System.out.println( "Result 3: " + java.util.Arrays.toString( values ) ); 
  }
  public static int[] fillRandomly(int size, int low, int high) {
    int[] result = new int[size]; 
    for (int i = 0; i < size; i++)
      result[i] = (int) (Math.random() * (high - low + 1) + 1);
    return result; 
  }
  public static int[] fillRandomlyNoDuplicates(int size, int low, int high) {
    int[] result = new int[10]; 
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
      boolean good = true; 
      int number = (int) (Math.random() * (high - low + 1) + 1); // [1, 100] and integer 
      System.out.printf( "Trying new number %3d ... ", number ); 
      for (int j = 0; j < i; j++)  
        if (number == result[j]) { // if the value exists already, go back to try again 
          good = false; 
          i = i - 1;
          break; 
        }
      if (good) {
        result[i] = number;
        System.out.println( "     good: " + java.util.Arrays.toString( result ) );  
      } else 
        System.out.println( " not good: " + java.util.Arrays.toString( result ) );  
    }
    return result;
  }
}

Here's how this works for me: 

Welcome to DrJava.  Working directory is C:\Users\cogli\Desktop\midterm
> run Two
Result 1: [72, 7, 5, 61, 36, 12, 39, 40, 55, 29]
Trying new number  48 ...      good: [48, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number  19 ...      good: [48, 19, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number   9 ...      good: [48, 19, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number  52 ...      good: [48, 19, 9, 52, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number  69 ...      good: [48, 19, 9, 52, 69, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number  39 ...      good: [48, 19, 9, 52, 69, 39, 0, 0, 0, 0]
Trying new number  28 ...      good: [48, 19, 9, 52, 69, 39, 28, 0, 0, 0]
Trying new number  75 ...      good: [48, 19, 9, 52, 69, 39, 28, 75, 0, 0]
Trying new number   7 ...      good: [48, 19, 9, 52, 69, 39, 28, 75, 7, 0]
Trying new number  72 ...      good: [48, 19, 9, 52, 69, 39, 28, 75, 7, 72]
Result 2: [48, 19, 9, 52, 69, 39, 28, 75, 7, 72]
Trying new number   7 ...      good: [7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number   6 ...      good: [7, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number  12 ...      good: [7, 6, 12, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number  15 ...      good: [7, 6, 12, 15, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number   7 ...  not good: [7, 6, 12, 15, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number   9 ...      good: [7, 6, 12, 15, 9, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number  15 ...  not good: [7, 6, 12, 15, 9, 0, 0, 0, 0, 0]
Trying new number  13 ...      good: [7, 6, 12, 15, 9, 13, 0, 0, 0, 0]
Trying new number   9 ...  not good: [7, 6, 12, 15, 9, 13, 0, 0, 0, 0]
Trying new number   6 ...  not good: [7, 6, 12, 15, 9, 13, 0, 0, 0, 0]
Trying new number   2 ...      good: [7, 6, 12, 15, 9, 13, 2, 0, 0, 0]
Trying new number   4 ...      good: [7, 6, 12, 15, 9, 13, 2, 4, 0, 0]
Trying new number  10 ...      good: [7, 6, 12, 15, 9, 13, 2, 4, 10, 0]
Trying new number  14 ...      good: [7, 6, 12, 15, 9, 13, 2, 4, 10, 14]
Result 3: [7, 6, 12, 15, 9, 13, 2, 4, 10, 14]
>